Matemáticas
Matemáticas (del griego μάθημα, máthema: ciencia, conocimiento, aprendizaje, μαθηματικóς, mathematikós: Amante del conocimiento) es la ciencia que estudia las propiedades de los entes abstractos, como los números, figuras geométricas o símbolos, y sus relaciones.
Las ciencias exactas o matemáticas se caracterizan ante todo por su exigencia de claridad (los conceptos han de definirse,excepto aquellos denominados primitivos) y su exigencia de rigor (las afirmaciones han de probarse con un razonamiento fuera de toda duda).
La Grecia clásica descubrió y quedó fascinada ante la posibilidad de tal conocimiento, cuyo más claro exponente era la Geometría, el estudio de las relaciones métricas que se dan en las figuras planas y espaciales. En Los Elementos de Euclides el genio griego alcanzó a desarrollar, partiendo únicamente de cinco postulados, una ingente cantidad de conocimientos geométricos y algunos resultados fundamentales de Aritmética. Desde entonces el método axiomático es el ideal del saber matemático.
En siglos posteriores el ámbito de las matemáticas se fue extendiendo con el Álgebra (números negativos y cálculo simbólico) y sobre todo con el descubrimiento por Leibniz y Newton del cálculo infinitesimal, verdadera joya de fecundidad inagotable que penetra en el corazón de las magnitudes variables (y por ello en los fenómenos estudiados en Física).
Pero estos desarrollos no alcanzaron la claridad y el rigor deseables hasta el siglo XIX. Siglo donde la cultura alemana, con Gauss en cabeza, descubre que en cada objeto matemático subyace una estructura cuyo estudio y conocimiento es la clave de su comprensión, jugando las propiedades formales y cualitativas un papel preponderante frente a las cuantitativas. Entendiendo ahora los axiomas como las relaciones que definen la estructura en cuestión, en los siglos XIX y XX se produce una fantástica explosión de los temas que abordan las matemáticas: Geometría Proyectiva y Diferencial, Topología, Funciones de variable compleja, Grupos y Anillos, Lógica, Probabilidades,…
Así, mientras que el método axiomático ha permanecido como aspiración inmutable de las matemáticas desde sus comienzos en el siglo VI adC con Tales de Mileto y otros, el objeto de estudio se ha extendido progresivamente. Primero fue la ciencia de las relaciones espaciales y cuantitativas. En los siglos XVII y XVIII se entendió como la ciencia de las relaciones entre magnitudes y cantidades variables. En los siglos XIX y XX es más bien la ciencia de la estructura y la simetría, de la forma y las relaciones cualitativas.
Aunque todas sus partes están cada vez más unidas e estrechamente relacionadas, a contracorriente de la cultura de la especialización actualmente en boga, podría realizarse la siguiente división (forzada y artificial; pero útil para "hacerse una idea") en varias ramas:
Fundamentos: Lógica, Conjuntos, Teoría de las categorías.
Aritmética: Teoría de Números Algebraica y Analítica.
Geometría: Geometría Algebraica, Geometría Diferencial, Topología.
Álgebra: Teoría de Grupos y Anillos, Álgebra Homológica.
Análisis: Funciones, Análisis Armónico, Ecuaciones Diferenciales, Análisis Funcional, Teoría de la Medida.
Física Teórica: Cálculo de Variaciones, Mecánica, Teoría Cuántica.
En realidad, las numerosas ramas de la matemática están muy interrelacionadas. He aquí una lista de secciones a considerar en su estudio:
Índice
1 Los números
2 Matemática del cambio
3 Estructuras matemáticas
4 Espacios
5 Matemática finita
6 Matemática aplicada
7 Teoremas y conjeturas famosos
8 Fundamentos y Métodos
9 Historia de las matemáticas. El mundo de los matemáticos
10 Matemáticas recreativas
11 Historia
12 Crisis históricas de las matemáticas
Los números
Números — Números naturales — Números enteros — Números racionales — Números reales — Números complejos — Cuaterniones — Octoniones — Sedeniones — Números hiperreales — Números infinitos — Dígito — Sistema de numeración
Matemática del cambio
Cálculo — Cálculo vectorial — Análisis — Ecuaciones diferenciales – Sistemas dinámicos y teoría del caos — lista de funciones — logaritmo
Estructuras matemáticas
Álgebra abstracta — Teoría de números — Geometría algebraica — Grupos — Monoides — Análisis — Topología — Álgebra lineal — Teoría de grafos — Teoría de las categorías — Anillos
Espacios
Topología — Geometría — Geometría algebraica — Geometría diferencial — Topología diferencial — Topología algebraica — Álgebra lineal
Matemática finita
Combinatoria — Teoría de conjuntos — Estadística y probabilidad — Teoría de la computación — Matemática discreta — Criptografía — Teoría de grafos
Matemática aplicada
Mecánica — Cálculo numérico — Optimización — Matemática discreta — Estadística y probabilidad — Fractales
Teoremas y conjeturas famosos
Teorema de Fermat — Hipótesis de Riemann — Hipótesis del continuo — P=NP — Conjetura de Goldbach — Conjetura de los primos gemelos — Teoremas de incompletitud de Gödel — Conjetura de Poincaré — Argumento de la diagonal de Cantor — Teorema de Pitágoras — Teorema fundamental del Cálculo Numérico — Teorema fundamental del álgebra — Teorema de los cuatro colores — Lema de Zorn — Identidad de Euler
Fundamentos y Métodos
Filosofía de las matemáticas — Intuicionismo — Constructivismo — Fundamentos de las matemáticas — Teoría de conjuntos — subconjuntos difusos o flojos — Lógica simbólica– Lógica difusa o floja — Teoría de modelos — Teoría de las categorías — Prueba de los teoremas — Axiomática –Inducción
Historia de las matemáticas. El mundo de los matemáticos
Historia de las matemáticas — Matemáticos — Medallas Fields — Unión Matemática Internacional — Competiciones matemáticas– Premio Abel
Matemáticas recreativas
Arte matemático — Criptogramas — Juegos matemáticos — Matemáticas en el arte — Acertijos matemáticos — Cuadrados mágicos — Plegados — Papiroflexia
Se dice que las matemáticas abarcan tres ámbitos:
Geometría, incluyendo la Trigonometría y las Secciones cónicas.
Ánálisis matemático, en el cual se hace uso de letras y símbolos, y que incluye el álgebra, la geometría analítica y el cálculo.
Cada una de estas categorías se divide a su vez en pura o abstracta, en donde se consideran las magnitudes o cantidades abstractamente, sin relación a la materia; y en aplicada, la cual trata las magnitudes como substancia de cuerpos materiales, y por consecuencia se relaciona con consideraciones físicas.
Historia
Históricamente, las matemáticas surgieron con el fin de hacer los cálculos en el comercio, para medir la tierra y para predecir los acontecimientos astronómicos. Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma con la subdivisión amplia de las matemáticas en el estudio de la estructura, el espacio y el cambio.
El estudio de la estructura comienza con los números, inicialmente los números naturales y los números enteros.
Las reglas que dirigen las operaciones aritméticas se estudian en el álgebra elemental, y las propiedades más profundas de los números enteros se estudian en la teoría de números. La investigación de métodos para resolver ecuaciones lleva al campo del álgebra abstracta. El importante concepto de vector, generalizado a espacio vectorial, es estudiado en el álgebra lineal, y pertenece a las dos ramas de la estructura y el espacio. El estudio del espacio origina la geometría, primero la geometría euclídea y luego la trigonometría.
La comprensión y descripción del cambio en variables mensurables es el tema central de las ciencias naturales, y el cálculo. Para resolver problemas que se dirigen en forma natural a relaciones entre una cantidad y su tasa de cambio, y de las soluciones a estas ecuaciones, se estudian las ecuaciones diferenciales.
Los números usados para representar las cantidades continuas son los números reales. Para estudiar los procesos de cambio se utiliza el concepto de función matemática. Los conceptos de derivada e integral, introducidos por Newton y Leibniz, juegan un papel clave en este estudio, que se denomina análisis.
Por razones matemáticas, es conveniente para muchos fines introducir los números complejos, lo que da lugar al análisis complejo.
El análisis funcional consiste en estudiar problemas cuya incógnita es una función, pensándola como un punto de un espacio funcional abstracto.
Un campo importante en matemáticas aplicadas es la probabilidad y la estadística, que permiten la descripción, el análisis y la predicción de fenómenos que tienen variables aleatorias y que se usan en todas las ciencias.
El análisis numérico investiga los métodos para realizar los cálculos en computadoras.
Crisis históricas de las matemáticas
Las matemáticas han pasado por tres crisis históricas importantes:
1) El descubrimiento de la inconmensurabilidad por los griegos, la existencia de los números irracionales que de alguna forma debilitó la filosofía de los pitagóricos.
2) Aparición del cálculo en el siglo XVII, con el temor de que fuera ilegitimo manejar infinitesimales
3) La tercera fue el hallazgo de las antinomias, como la de Russell o la paradoja de Berry a comienzos del siglo XX, que atacaban los mismos cimientos de la materia
Fuente: El dedo de Galileo. Peter Atkins. En Espasa Calpe-2003
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